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第二十章 欧几里得算法（第1页）
欧几里得学生卡农对欧几里得说：“如果可以可靠的求出两个数字的最大公约数？”
欧几里得说：“用辗转相除法就可以，如果求a和b的最大公约数，如果a大于b，那就是a除以b，然后得到余数，然后再让除数b除以余数，然后一直让除数除以余数，最后余数为0的时候，得到的除数就是a和b的最大公约数。”
卡农说：“假如说1997和615这两个数字。”
欧几里得说：“1997除以615，等于3余出152。”
卡农说：“然后怎么求？”
欧几里得说：“除数除以余数，615除以152等于4余7.”
卡农说：“然后152除以7等于21余5.”
欧几里得接着说：“没错，然后7除以5，等于1余2.”
卡农说：“5除以2，等于2余1.”
欧几里得说：“2除以1，等于2余0.”
卡农说：“不能再往下了，余数已经为0，所以1997和615的最大公约数为1.”
欧几里得说：“所以说，相当于没有最大公约数。”
在以上基础上，后来数学中发展了环的概念，整环r是符合一下接个要求的：
1、a
关于加法成为一个
abel
群（其零元素记作
0）；
2、乘法满足结合律：（a
*
b）*
c
=
a
*（b
*
c）；
3、乘法对加法满足分配律：a
*（b
+
c）=
a
*
b
+
a
*
c，（a
+
b）*
c
=
a
*
c
+
b
*
c；
如果环
a
还满足以下乘法交换律，则称为“交换环”：
4、乘法交换律：a
*
b
=
b
*
a。
如果交换环
a
还满足以下两条件，就称为“整环”（integral
domain）：
5、a
中存在非零的乘法单位元，即存在
a
中的一个元素，记作
1，满足：1
不等于
0，且对任意
a，有：e*
a
=
a
*
e=
a；
6、ab=0
=>
a=0
或
b=0。
而后来也引入了欧几里得整环的概念，这是抽象代数中，这是一种能作辗转相除法的整环。凡欧几里得整环必为主理想环。
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