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第三百八十一章 拓扑学拓扑学（第2页）

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马克笑说：“我当然知道你想说的是莫比乌斯带或者克莱因瓶，他们需要对材料进行一些翻转或者变形之后，才能组合在一起。”说到此处，马克在想长条粘贴旋转一遍时是莫比乌斯带，旋转两遍的时候那是什么？虽不是莫比乌斯带那么，但是也不是正常形状。但马克没敢说这些，因为太魔性了。先收一收搞好学问吧。

ErikZeeman：“没错，这确是拓扑特点。明白这些拓扑粘合的灵活性。还有一个，就是复杂形状的拓扑是由简单拓扑形状粘合形成。那就需要问，什么是简单的拓扑形状？也就类似堆积木的积木是什么样的？这样的东西是最简单的吗，是不是还可以更简单。这些简单的元件拓扑，也是研究对象。”

马克说：“那当然，这是必须的，拓扑元件知道怎么弄，才能知道拿什么东西去粘。而元件往往就难免的涉及数学中群的知识了。群就是研究数学对象的各种元件的，拓扑肯定也是需要群分类，群运算也需要了。”马克才想起刚刚说四则运算是不合适的。

ErikZeeman：“没错，弄清一堆元件后，我们就敢粘贴了，而粘贴的时候必须弄好顺序，先粘哪个，后粘哪个，这种先后顺序就是轨道空间。不同的轨道空间，肯定会粘出不一样的东西。”

马克说：“没错，然后我们就要开始这些工作了。”

ErikZeeman：“走到这一步，想必要让自己思想升华一下了，其实知道拓扑学的计算本质后，那是不是就跟数学中图论的东西是相似的，毕竟图的形状，里面也包含洞这些信息，唯一不同的是，图论中连接点和传输线的权重不一样。而拓扑学中这些节点和连线都是平等的。”

马克说：“所以一个个等价的拓扑形状，就成了......”

ErikZeeman：“这种等价称之为同伦。”

马克说：“这是？”

ErikZeeman：“一个形状，通过连续变化，变成另外一个形状。不破坏其中洞，或者亏格。”

马克恍然大悟道：“所以开始要构造基本的这些群，使用同论这个方法，可以让一个很简单的形状变成各种各样的样子。这些样子当然都是同一类的。之后我们去计算这种各种各样的映射了。一个简单的拓扑元件会出现各种各样同伦型。但是如何很多同伦型的变换物放在一起，也难以判断出这是否是一个简单的元件同伦变换出来的。”

ErikZeeman：“布劳威尔不动点定理可以解决这个麻烦的问题。”

马克知道布劳威尔不动点，但头一次听说要解决这个问题。

ErikZeeman：“只要是同一形状的各种不同映射，变化出千变万化的各种同伦型的拓扑形状，那他们的布劳威尔不动点一定是相同的。”

马克兴奋说：“太好了，很机智。”

“然后大战拳脚了吧。”

ErikZeeman说：“没错，在研究一些复杂平面的时候，我们可以分而治之，把平面都分成一个个简单的形状，这就是我们研究复杂问题的办法。”

“然后研究清楚了，最后粘在一起？或者说那种分离开，我们也要知道他们怎么粘的才对。”

ErikZeeman说：“我们把这些每个分开的东西的边际研究清就行，这在前面的连通性中，已经说清了。”

马克指着一棵树，上面有一个扭曲的木头，马克说：“我们研究这个扭曲的木头，里面的旋就算一个洞。我们对这个空间进行刨分。”

ErikZeeman说：“在这里刨分完后，要对每一个被分开的东西，进行编号，存在的依据就是其中心，也就是重心出。有几个重心，就代表分成了几个形状，以此方便研究。”

马克说：“然后尽量分成最基本的单元，分到不能再分处。”

ErikZeeman说：“这就是单纯逼近。”

马克说：“如何能够实现这一过程呢？主要是看什么呢？”

ErikZeeman说：“不看这个扭曲的树，打个比方，我们挖出来一个钻石原石，要把他们分成简单的四面体一类的形状，当然不是钻石那种的。我们尽可能剩下材料，不浪费任何一个区域，尽可能多的去切割。”

马克说：“听起来很困难啊。”

ErikZeeman说：“需要对原来石头的棱进行测量和分析，这就是复形的棱道群，再根据此，进行轨道空间的单纯刨分。尽量分的要合理，一步步来。当然结果就是得知轨道和对应的元件单形。”

马克说：“确实难，但极具备实用性。”

ErikZeeman说：“切割钻石是三维空间，而我们要面对的很多更加复杂的高维复形。”

马克说：“那怎么办，听起来不见得，让人望而却步啊！”

ErikZeeman说：“先对其进行分类，其中要得到轨道和单形，所以要把轨道定向工作做好。而分类的过程，要看总体的欧拉示性数，然后把割开和修补进行运算，着都用对应的运算方式。曲面需要很多符号来表示，方便区分和运算。”

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马克开窍也快的说：“之后要用同调理论，使用一个有方向的轨道，结合每个拓扑的边缘加上方向，然后对不同复杂形状，分析其形状是否可以连续变换得到。本质上是拓扑变成类似图的一种计算和对比的过程。其中轨道联系单形会以一串数字来表示这种组成。这里很多就会涉及到链，和很多单形的边缘。直接把单形边缘放入轨道中，形成一个链子，这个链子就是带着方向和组合方式的长链。”

ErikZeeman说：“想想，世间万事很多都可以用同调论，同调论不仅在微分几何、复变函数、代数几何、抽象代数、代数数论、微分方程、对策论等其他许多数学分支中有着广泛的应用。而且在自然科学和其它工程技术领域的许多学科诸如:电路网络、理论物理、计算机、电子通讯、现代控制理论乃至原子核构造理论等学科都具有广泛的应用。已成为现代数学及现代技术领域中不可替代的基础工具之一，也是非数学类众多领域的本科生及研究生必修的数学基础课程。”

马克说：“是的，它可以让很多问题变得简单化。”

ErikZeeman：“同调群也需要分类研究，以示方便研究复杂形状。在此过程中免不了会有单纯映射这种简单的，也有辐式重分的相对复杂的。区分其中复杂形分类的时候......”

马克说：“也需要有布劳威尔不动点之类的不变量。”

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